Moving Average Filter Rauschunterdrückung

Die Wissenschaftler und Ingenieure Leitfaden für digitale Signalverarbeitung Von Steven W. Smith, Ph. D. Kapitel 15: Verschieben von Durchschnittsfiltern Rauschreduzierung und Schrittreaktion Viele Wissenschaftler und Ingenieure fühlen sich schuldig, wenn Sie den gleitenden Mittelfilter verwenden. Weil es so einfach ist, ist der gleitende Durchschnitt Filter oft das erste, was versucht, wenn mit einem Problem konfrontiert. Auch wenn das Problem vollständig gelöst ist, gibt es immer noch das Gefühl, dass etwas mehr getan werden sollte. Diese Situation ist wirklich ironisch. Nicht nur ist der gleitende durchschnittliche Filter sehr gut für viele Anwendungen, es ist optimal für ein allgemeines Problem, das Verringern des gelegentlichen weißen Rauschens unter Beibehaltung der schärfsten Sprungantwort. Abbildung 15-1 zeigt ein Beispiel dafür, wie dies funktioniert. Das Signal in (a) ist ein in zufälligem Rauschen vergrabener Impuls. In (b) und (c) verringert die Glättungswirkung des gleitenden Durchschnittsfilters die Amplitude des Zufallsrauschens (gut), verringert aber auch die Schärfe der Kanten (schlecht). Von allen möglichen linearen Filtern, die verwendet werden könnten, erzeugt der gleitende Durchschnitt das niedrigste Rauschen für eine gegebene Flankenschärfe. Der Betrag der Rauschunterdrückung ist gleich der Quadratwurzel der Anzahl der Punkte im Durchschnitt. Zum Beispiel verringert ein 100-Punkte-gleitender Durchschnittsfilter das Rauschen um den Faktor 10. Um zu verstehen, warum der gleitende Durchschnitt die beste Lösung ist, stellen wir uns vor, wir wollen einen Filter mit fester Kantenschärfe entwerfen. Nehmen wir zum Beispiel an, dass wir die Kantenschärfe festlegen, indem wir angeben, dass es elf Punkte im Anstieg der Sprungantwort gibt. Dies erfordert, dass der Filterkern elf Punkte hat. Die Optimierungsfrage lautet: Wie wählen wir die elf Werte im Filterkernel aus, um das Rauschen am Ausgangssignal zu minimieren Da das Rauschen, das wir reduzieren wollen, zufällig ist, ist keiner der Eingangspunkte etwas Besonderes, jeder ist genauso laut wie sein Nachbar . Daher ist es nutzlos, irgendeinem der Eingangspunkte eine bevorzugte Behandlung zu geben, indem ihm ein größerer Koeffizient im Filterkern zugewiesen wird. Das niedrigste Rauschen wird erhalten, wenn alle Eingangsabtastwerte gleich behandelt werden, d. h. das gleitende Mittelfilter. (Später in diesem Kapitel zeigen wir, dass andere Filter im Wesentlichen so gut sind, dass kein Filter besser ist als der einfache gleitende Durchschnitt).Dokumentation Dieses Beispiel zeigt, wie gleitende Durchschnittsfilter und Resampling verwendet werden, um die Auswirkungen von periodischen Komponenten zu isolieren Die Tageszeit bei stündlichen Temperaturmessungen sowie unerwünschte Leitungsgeräusche aus einer offenen Spannungsmessung. Das Beispiel zeigt auch, wie die Pegel eines Taktsignals zu glätten sind, während die Kanten durch Verwendung eines Medianfilters bewahrt werden. Das Beispiel zeigt auch, wie ein Hampel-Filter verwendet wird, um große Ausreißer zu entfernen. Motivation Glättung ist, wie wir wichtige Muster in unseren Daten zu entdecken, während Sie Dinge, die unwichtig sind (d. H. Rauschen). Wir verwenden Filter, um diese Glättung durchzuführen. Das Ziel der Glättung ist es, langsame Änderungen im Wert zu produzieren, so dass seine einfacher zu sehen, Trends in unseren Daten. Manchmal, wenn Sie Eingangsdaten untersuchen, können Sie die Daten glatt machen, um einen Trend im Signal zu sehen. In unserem Beispiel haben wir eine Reihe von Temperaturmessungen in Celsius genommen jede Stunde am Logan Flughafen für den gesamten Monat Januar 2011. Beachten Sie, dass wir visuell sehen können, die Wirkung, die die Tageszeit auf die Temperaturwerte hat. Wenn Sie sich nur für die tägliche Temperaturschwankung im Laufe des Monats interessieren, tragen die stündlichen Fluktuationen nur zu Lärm bei, was die täglichen Variationen schwer unterscheiden kann. Um den Effekt der Tageszeit zu entfernen, möchten wir nun unsere Daten mit einem gleitenden Mittelfilter glätten. Ein Moving Average Filter In seiner einfachsten Form nimmt ein gleitender Durchschnittsfilter der Länge N den Durchschnitt jeder N aufeinanderfolgenden Samples der Wellenform an. Um einen gleitenden Mittelwertfilter auf jeden Datenpunkt anzuwenden, konstruieren wir unsere Koeffizienten unseres Filters so, dass jeder Punkt gleich gewichtet wird und 1/24 zum Gesamtdurchschnitt beiträgt. Dies gibt uns die durchschnittliche Temperatur über jeden Zeitraum von 24 Stunden. Filterverzögerung Beachten Sie, dass der gefilterte Ausgang um etwa zwölf Stunden verzögert wird. Dies ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass unser gleitender Durchschnittsfilter eine Verzögerung hat. Jedes symmetrische Filter der Länge N hat eine Verzögerung von (N-1) / 2 Abtastungen. Wir können diese Verzögerung manuell berücksichtigen. Extrahieren von Durchschnittsdifferenzen Alternativ können wir auch das gleitende Mittelfilter verwenden, um eine bessere Schätzung zu erhalten, wie die Tageszeit die Gesamttemperatur beeinflusst. Dazu werden zuerst die geglätteten Daten von den stündlichen Temperaturmessungen subtrahiert. Dann segmentieren Sie die differenzierten Daten in Tage und nehmen Sie den Durchschnitt über alle 31 Tage im Monat. Extrahieren von Peak Envelope Manchmal möchten wir auch eine glatt variierende Schätzung haben, wie sich die Höhen und Tiefen unseres Temperatursignals täglich ändern. Um dies zu erreichen, können wir die Hüllkurvenfunktion verwenden, um extreme Höhen und Tiefen zu verbinden, die über eine Untermenge der 24-Stundenperiode erkannt werden. In diesem Beispiel stellen wir sicher, dass es mindestens 16 Stunden zwischen jedem extrem hohen und extrem niedrigen Niveau gibt. Wir können auch ein Gefühl dafür, wie die Höhen und Tiefen sind Trends, indem sie den Durchschnitt zwischen den beiden Extremen. Weighted Moving Average Filter Andere Arten von Moving Average Filtern gewichten nicht jede Probe gleichermaßen. Ein weiterer gemeinsamer Filter folgt der Binomialexpansion von (1 / 2,1 / 2) n Dieser Filtertyp approximiert eine Normalkurve für große Werte von n. Es ist nützlich zum Herausfiltern von Hochfrequenzrauschen für kleine n. Um die Koeffizienten für das Binomial-Filter zu finden, falten Sie 1/2 1/2 mit sich selbst und konvergieren dann iterativ den Ausgang mit 1/2 1/2 a vorgeschriebener Anzahl von Malen. Verwenden Sie in diesem Beispiel fünf Gesamt-Iterationen. Ein anderer Filter, der dem Gaußschen Expansionsfilter ähnlich ist, ist der exponentiell gleitende Durchschnittsfilter. Diese Art des gewichteten gleitenden Durchschnittsfilters ist einfach zu konstruieren und erfordert keine große Fenstergröße. Sie passen einen exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnittsfilter durch einen Alpha-Parameter zwischen null und eins an. Ein höherer Wert von alpha wird weniger Glättung haben. Untersuche die Messwerte für einen Tag. Wählen Sie Ihr CountryA Closer Blick auf die erweiterte CODAS Moving Average Algorithmus Vielseitig gleitenden Durchschnitt in Advanced CODAS-Algorithmus filtert Wellenformrauschen, extrahiert Mittelwert und eliminiert Baseline Drift. Der gleitende Durchschnitt ist eine einfache mathematische Technik, die primär zur Beseitigung von Aberrationen verwendet wird und den tatsächlichen Trend in einer Sammlung von Datenpunkten offenbart. Sie könnten mit ihm aus der Mittelung lärmender Daten in einem Neuling Physik-Experiment oder aus der Verfolgung der Wert einer Investition vertraut sein. Sie wissen vielleicht nicht, dass der gleitende Durchschnitt auch ein Prototyp des endlichen Impulsantwortfilters ist, der häufigste Filtertyp, der in der computerbasierten Instrumentierung verwendet wird. In Fällen, in denen eine gegebene Wellenform mit Rauschen überlagert ist, wo ein Mittel aus einem periodischen Signal extrahiert werden muss oder wenn eine langsam driftende Grundlinie aus einem Signal höherer Frequenz eliminiert werden muss, kann ein gleitender Durchschnittsfilter angewendet werden, um das gewünschte zu erzielen Ergebnis. Der gleitende Durchschnittsalgorithmus von Advanced CODAS bietet diese Art der Wellenformfilterleistung. Advanced CODAS ist ein Analyse-Softwarepaket, das auf vorhandenen Wellenformdateien arbeitet, die von WinDaq oder WinDaq-Datenerfassungspaketen der zweiten Generation erstellt wurden. Zusätzlich zu dem gleitenden durchschnittlichen Algorithmus enthält Advanced CODAS auch ein Berichtsgenerator-Dienstprogramm und Software-Routinen für Wellenformintegration, Differenzierung, Peak - und Tal-Erfassung, Rektifikation und arithmetische Operationen. Moving Average Filter Theorie DATAQ Instruments Moving Average Algorithmus ermöglicht eine große Flexibilität in Wellenform-Filter-Anwendungen. Es kann als Tiefpaßfilter verwendet werden, um das Rauschen, das bei vielen Arten von Wellenformen anliegt, oder als Hochpaßfilter zu dämpfen, um eine Drift-Grundlinie von einem Signal höherer Frequenz zu eliminieren. Das Verfahren, das von dem Algorithmus verwendet wird, um die Filtermenge zu bestimmen, beinhaltet die Verwendung eines Glättungsfaktors. Dieser Glättungsfaktor, der von Ihnen durch die Software gesteuert wird, kann erhöht oder verringert werden, um die Anzahl der tatsächlichen Wellenformdatenpunkte oder Abtastwerte anzugeben, die der gleitende Durchschnitt überspannt. Jede periodische Wellenform kann als eine lange Zeichenkette oder Sammlung von Datenpunkten gedacht werden. Der Algorithmus führt einen gleitenden Durchschnitt durch, indem er zwei oder mehr dieser Datenpunkte aus der erfassten Wellenform abgibt, addiert, ihre Summe durch die Gesamtanzahl der hinzugefügten Datenpunkte dividiert und den ersten Datenpunkt der Wellenform durch den gerade berechneten Durchschnitt ersetzt Wiederholen der Schritte mit den zweiten, dritten und so weiter Datenpunkten, bis das Ende der Daten erreicht ist. Das Ergebnis ist eine zweite oder erzeugte Wellenform, die aus den gemittelten Daten besteht und die gleiche Anzahl von Punkten wie die ursprüngliche Wellenform aufweist. Abbildung 1 8212 Jede periodische Wellenform kann als eine lange Zeichenkette oder Sammlung von Datenpunkten gedacht werden. In der obigen Darstellung werden konsekutive Wellenformdatenpunkte durch quotyquot dargestellt, um zu veranschaulichen, wie der gleitende Durchschnitt berechnet wird. In diesem Fall wurde ein Glättungsfaktor von drei angewandt, was bedeutet, dass drei aufeinander folgende Datenpunkte aus der ursprünglichen Wellenform hinzugefügt werden, wobei ihre Summe durch drei geteilt wird, und dann wird dieser Quotient als der erste Datenpunkt einer erzeugten Wellenform aufgetragen. Der Vorgang wiederholt sich mit den zweiten, dritten und anderen Datenpunkten der ursprünglichen Wellenform, bis das Ende der Daten erreicht ist. Eine spezielle Quotientierquot-Technik misst die Anfangs - und Enddatenpunkte der ursprünglichen Wellenform, um sicherzustellen, dass die erzeugte Wellenform die gleiche Anzahl von Datenpunkten wie die Vorlage enthält. Fig. 1 zeigt, wie der gleitende Mittelalgorithmus auf Wellenformdatenpunkte (die durch y dargestellt werden) angewendet wird. Die Abbildung zeigt einen Glättungsfaktor von 3, was bedeutet, dass der Durchschnittswert (dargestellt durch a) über 3 aufeinanderfolgende Wellenformdatenwerte berechnet wird. Beachten Sie die Überlappung, die in den gleitenden Durchschnittsberechnungen vorhanden ist. Es ist diese überlappende Technik, zusammen mit einer speziellen Anfangs - und Endpunktbehandlung, die die gleiche Anzahl von Datenpunkten in der gemittelten Wellenform erzeugt, wie sie im Original existiert. Die Art und Weise, wie der Algorithmus einen gleitenden Durchschnitt berechnet, verdient einen genaueren Blick und kann an einem Beispiel veranschaulicht werden. Sagen wir haben auf einer Diät für zwei Wochen und wir wollen unser durchschnittliches Gewicht in den letzten 7 Tagen zu berechnen. Wir würden unser Gewicht an Tag 7 mit unserem Gewicht an den Tagen 8, 9, 10, 11, 12 und 13 summieren und dann mit 1/7 multiplizieren. Zur Formalisierung des Prozesses läßt sich dies folgendermaßen ausdrücken: a (7) 1/7 (y (7) y (8) y (9) y (13) Diese Gleichung kann weiter verallgemeinert werden. Der gleitende Mittelwert einer Wellenform kann folgendermaßen berechnet werden: wobei: ein gemittelter Wert n Datenpunktposition s Glättungsfaktor y aktueller Datenpunktwert Bild 2 8212 Die Ausgangswellenform der Kraftmesszelle, die im oberen Kanal als Original und ungefiltert dargestellt ist, und als ein 11-Punkt Gemittelte Wellenform im unteren Kanal. Das Rauschen, das auf der ursprünglichen Wellenform auftritt, war auf die intensiven Vibrationen zurückzuführen, die durch die Presse während des Verpackungsvorgangs erzeugt wurden. Der Schlüssel zu dieser Algorithmenflexibilität ist sein breites Spektrum an auswählbaren Glättungsfaktoren (von 2 - 1.000). Der Glättungsfaktor bestimmt, wie viele tatsächliche Datenpunkte oder Proben gemittelt werden sollen. Das Angeben eines positiven Glättungsfaktors simuliert einen Tiefpaßfilter, während ein negativer Glättungsfaktor ein Hochpassfilter simuliert. Bei dem Absolutwert des Glättungsfaktors gelten bei höheren Werten grßere Glättungsbeschränkungen für die resultierende Wellenform und umgekehrt niedrigere Werte weniger Glättung. Mit der Anwendung des geeigneten Glättungsfaktors kann der Algorithmus auch verwendet werden, um den Mittelwert einer gegebenen periodischen Wellenform zu extrahieren. Ein höherer positiver Glättungsfaktor wird typischerweise angewendet, um mittlere Wellenformwerte zu erzeugen. Anwenden des Moving Average Algorithmus Ein herausragendes Merkmal des gleitenden Durchschnittsalgorithmus ist, dass es viele Male auf die gleiche Wellenform angewendet werden kann, um das gewünschte Filterergebnis zu erhalten. Waveform-Filterung ist eine sehr subjektive Übung. Was möglicherweise eine richtig gefilterte Wellenform zu einem Benutzer sein kann, kann unannehmbar laut zu anderen sein. Nur Sie können beurteilen, ob die Anzahl der gemittelten Punkte zu hoch, zu niedrig oder genau richtig gewählt wurde. Die Flexibilität des Algorithmus ermöglicht es Ihnen, den Glättungsfaktor anzupassen und einen weiteren Durchlauf durch den Algorithmus durchzuführen, wenn mit dem anfänglichen Versuch keine zufriedenstellenden Ergebnisse erzielt werden. Die Anwendung und die Fähigkeiten des gleitenden Durchschnittsalgorithmus können am besten durch die folgenden Beispiele veranschaulicht werden. Abbildung 3 8212 Die EKG-Wellenform, die ursprünglich und ungefiltert im oberen Kanal und als 97-Punkt-gemittelte Wellenform im unteren Kanal angezeigt wurde. Beachten Sie die Abwesenheit von Baseline Drift im unteren Kanal. Beide Wellenformen werden in einem komprimierten Zustand für Präsentationszwecke gezeigt. Eine Rauschunterdrückungsanwendung In Fällen, in denen eine gegebene Wellenform mit Rauschen überladen ist, kann das gleitende Durchschnittsfilter angewendet werden, um das Rauschen zu unterdrücken und ein klareres Bild der Wellenform zu liefern. Zum Beispiel benutzte ein fortgeschrittener CODAS-Kunde eine Presse und eine Wägezelle in einem Verpackungsbetrieb. Ihr Produkt sollte auf ein vorbestimmtes Niveau (überwacht durch die Kraftmesszelle) komprimiert werden, um die Größe der Verpackung zu reduzieren, die erforderlich ist, um das Produkt aufzunehmen. Aus Qualitätskontrollgründen beschlossen sie, den Pressenbetrieb mit Instrumentierung zu überwachen. Ein unerwartetes Problem trat auf, als sie begannen, die Echtzeit-Wägezellenausgabe anzuzeigen. Da die Pressenmaschine während des Betriebs beträchtlich vibrierte, war die Ausgangswellenform der Lastzellen schwierig zu unterscheiden, da sie eine große Menge an Rauschen aufgrund der Schwingung aufwies, wie dies in dem oberen Kanal von Fig. 2 gezeigt ist. Dieses Rauschen wurde eliminiert, indem ein 11-Punkt-gemittelter Kanal erzeugt wurde, wie in dem unteren Kanal von Fig. 2 gezeigt. Das Ergebnis war ein deutlich deutlicheres Bild der Wägezellenausgabe. Eine Anwendung bei der Beseitigung von Baseline Drift In Fällen, in denen eine langsam driftende Grundlinie aus einem Signal mit höherer Frequenz entfernt werden muss, kann das gleitende Durchschnittsfilter angewendet werden, um die Drift-Baseline zu eliminieren. Beispielsweise weist eine EKG-Wellenform typischerweise einen gewissen Grad an Grundlinienwanderung auf, wie in dem oberen Kanal von 3 zu sehen ist. Diese Grundliniendrift kann eliminiert werden, ohne die Eigenschaften der Wellenform zu verändern oder zu stören, wie in dem unteren Kanal von Fig. 3 gezeigt. Dies wird durch Anwenden eines geeigneten negativen Glättungsfaktors während der gleitenden Durchschnittsberechnung erreicht. Der geeignete Glättungsfaktor wird durch Dividieren einer Wellenformperiode (in Sekunden) durch das Abtastintervall der Kanäle bestimmt. Das Abtastintervall der Kanäle ist einfach der Reziprokwert der Abtastrate der Kanäle und wird bequem auf dem gleitenden Durchschnitts-Utility-Menü angezeigt. Die Wellenformperiode wird leicht aus dem Anzeigebildschirm bestimmt, indem der Cursor an einem geeigneten Punkt auf der Wellenform positioniert, eine Zeitmarke eingestellt und dann der Cursor einen vollständigen Zyklus von der angezeigten Zeitmarke weg bewegt wird. Die Zeitdifferenz zwischen Cursor und Zeitmarke ist eine Wellenformperiode und wird am unteren Rand des Bildschirms in Sekunden angezeigt. In unserem EKG-Beispiel besaß die Wellenform ein Kanalabtastintervall von 0,004 Sekunden (erhalten aus dem gleitenden mittleren Utility-Menü) und eine Wellenformperiode wurde gemessen, um 0,388 Sekunden zu überspannen. Das Dividieren der Wellenformperiode durch das Abtastintervall der Kanäle lieferte einen Glättungsfaktor von 97. Da es sich um die Grundliniendrift handelt, die wir an der Eliminierung interessieren, haben wir einen negativen Glättungsfaktor (-97) auf den gleitenden Durchschnittsalgorithmus angewendet. Dies subtrahierte das gleitende Durchschnittsergebnis des ursprünglichen Wellenformsignals, das die Grundliniendrift ohne störende Wellenforminformation eliminierte. Other Waveform Moving Average Issues Unabhängig von der Anwendung ist der universelle Grund für die Anwendung eines gleitenden mittleren Filters auf Quotsmooth outquot die hohen und niedrigen Aberrationen und zeigen einen repräsentativeren Zwischen-Wellenformwert. Dabei sollte die Software bei der Erzeugung einer gleitenden gemittelten Wellenform nicht andere Merkmale der ursprünglichen Wellenform beeinträchtigen. Beispielsweise sollte die Software automatisch die mit der ursprünglichen Datendatei verknüpften Kalibrierungsinformationen einstellen, so daß sich die gleitende gemittelte Wellenform in den geeigneten Entwicklungseinheiten befindet, wenn sie erzeugt wird. Alle Messwerte in den Figuren wurden mit WinDaq Data Acquisition SoftwareMoving Average Filter (MA Filter) geladen. Das gleitende Mittelfilter ist ein einfaches Tiefpassfilter (Finite Impulse Response), das üblicherweise zum Glätten eines Arrays von abgetasteten Daten / Signalen verwendet wird. Es benötigt M Abtastwerte von Eingang zu einem Zeitpunkt und nimmt den Durchschnitt dieser M-Abtastungen und erzeugt einen einzigen Ausgangspunkt. Es ist eine sehr einfache LPF (Low Pass Filter) Struktur, die praktisch für Wissenschaftler und Ingenieure, um unerwünschte laute Komponente aus den beabsichtigten Daten zu filtern kommt. Mit zunehmender Filterlänge (Parameter M) nimmt die Glätte des Ausgangs zu, während die scharfen Übergänge in den Daten zunehmend stumpf werden. Dies impliziert, dass dieses Filter eine ausgezeichnete Zeitbereichsantwort, aber einen schlechten Frequenzgang aufweist. Der MA-Filter erfüllt drei wichtige Funktionen: 1) Es benötigt M Eingangspunkte, berechnet den Durchschnitt dieser M-Punkte und erzeugt einen einzelnen Ausgangspunkt 2) Aufgrund der Berechnungen / Berechnungen. Führt das Filter eine bestimmte Verzögerung ein 3) Das Filter wirkt als ein Tiefpaßfilter (mit einer schlechten Frequenzbereichsantwort und einer guten Zeitbereichsantwort). Matlab-Code: Der folgende Matlab-Code simuliert die Zeitbereichsantwort eines M-Point Moving Average Filters und zeigt auch den Frequenzgang für verschiedene Filterlängen. Time Domain Response: Auf dem ersten Plot haben wir die Eingabe, die in den gleitenden Durchschnitt Filter geht. Der Eingang ist laut und unser Ziel ist es, den Lärm zu reduzieren. Die nächste Abbildung ist die Ausgangsantwort eines 3-Punkt Moving Average Filters. Es kann aus der Figur abgeleitet werden, dass der Filter mit 3-Punkt-Moving-Average bei der Filterung des Rauschens nicht viel getan hat. Wir erhöhen die Filterabgriffe auf 51 Punkte und wir können sehen, dass sich das Rauschen im Ausgang stark reduziert hat, was in der nächsten Abbildung dargestellt ist. Wir erhöhen die Anzapfungen weiter auf 101 und 501, und wir können beobachten, dass auch wenn das Rauschen fast Null ist, die Übergänge drastisch abgebaut werden (beobachten Sie die Steilheit auf beiden Seiten des Signals und vergleichen Sie sie mit dem idealen Ziegelwandübergang Unser Eingang). Frequenzgang: Aus dem Frequenzgang kann behauptet werden, dass der Roll-off sehr langsam ist und die Stopbanddämpfung nicht gut ist. Bei dieser Stoppbanddämpfung kann klar sein, daß der gleitende mittlere Filter nicht ein Band von Frequenzen von einem anderen trennen kann. Wie wir wissen, führt eine gute Leistung im Zeitbereich zu einer schlechten Leistung im Frequenzbereich und umgekehrt. Kurz gesagt, ist der gleitende Durchschnitt ein außergewöhnlich guter Glättungsfilter (die Aktion im Zeitbereich), aber ein außergewöhnlich schlechtes Tiefpassfilter (die Aktion im Frequenzbereich) Externe Links: Empfohlene Bücher: Primäre SidebarGaussian Smoothing Allgemeine Namen: Gaussian Glättung Kurzbeschreibung Der Gaußsche Glättungsoperator ist ein 2-D-Faltungsoperator, der verwendet wird, um Bilder zu verwischen und Details und Rauschen zu entfernen. In diesem Sinne ist es ähnlich dem mittleren Filter. Aber es verwendet einen anderen Kernel, der die Form eines Gaußschen (glockenförmigen) Hump repräsentiert. Dieser Kernel hat einige spezielle Eigenschaften, die unten detailliert beschrieben werden. Wie es funktioniert Die Gaußsche Verteilung in 1-D hat die Form: wo ist die Standardabweichung der Verteilung. Wir haben auch angenommen, daß die Verteilung einen Mittelwert von Null hat (d. H. Sie ist auf der Linie x & sub0; zentriert). Die Verteilung ist in Abbildung 1 dargestellt. Abbildung 1 1-D Gaußsche Verteilung mit Mittelwert 0 und 1 In 2-D hat eine isotrope (dh zirkulär symmetrische) Gaußsche Form die folgende Form: Diese Verteilung ist in Abbildung 2 dargestellt Gaußsche Verteilung mit Mittelwert (0,0) und 1 Die Idee der Gaußschen Glättung besteht darin, diese 2-D-Verteilung als Punktverteilungsfunktion zu verwenden, was durch Faltung erreicht wird. Da das Bild als eine Sammlung von diskreten Pixeln gespeichert ist, müssen wir eine diskrete Annäherung an die Gaußsche Funktion erzeugen, bevor wir die Faltung durchführen können. In der Theorie ist die Gaußsche Verteilung überall ungleich Null, was einen unendlich großen Faltungskernel erfordern würde, aber in der Praxis ist er effektiv null mehr als etwa drei Standardabweichungen vom Mittelwert, und so können wir den Kernel an diesem Punkt abschneiden. Fig. 3 zeigt einen geeigneten ganzzahligen Faltungskern, der einem Gaußschen mit a von 1,0 annähert. Es ist nicht offensichtlich, wie die Werte der Maske ausgewählt werden, um einen Gaußschen zu approximieren. Man könnte den Wert des Gaußschen in der Mitte eines Pixels in der Maske verwenden, aber dies ist nicht genau, da der Wert des Gaußschen nichtlinear über dem Pixel variiert. Wir integrierten den Wert des Gaussian über das gesamte Pixel (durch Summieren des Gaussian in 0,001 Inkrementen). Die Integrale sind keine Ganzzahlen: Wir haben das Array so skaliert, dass die Ecken den Wert 1 haben. Schließlich ist die 273 die Summe aller Werte in der Maske. Abbildung 3 Diskrete Annäherung an die Gaußsche Funktion mit 1,0 Sobald ein geeigneter Kernel berechnet wurde, kann die Gaußsche Glättung mit Standard-Faltungsmethoden durchgeführt werden. Die Faltung kann tatsächlich ziemlich schnell durchgeführt werden, da die Gleichung für den oben gezeigten 2-D isotropen Gaussian in x - und y-Komponenten trennbar ist. Somit kann die 2-D-Faltung durchgeführt werden, indem zuerst mit einem 1-D-Gaussian in x-Richtung gefaltet wird und dann mit einem anderen 1-D-Gaussian in y-Richtung gefaltet wird. (Der Gaußsche ist tatsächlich der einzige vollständig kreisförmige symmetrische Operator, der auf diese Weise zerlegt werden kann.) Fig. 4 zeigt den 1-Dx-Komponentenkern, der verwendet werden würde, um den in Fig. 3 gezeigten Vollkern (nach Skalierung um 273) zu erzeugen , Rundung und Trunkierung eine Reihe von Pixeln um die Grenze, weil sie meist den Wert 0 haben. Dies reduziert die 7x7 Matrix auf die 5x5 oben gezeigt.). Die y-Komponente ist genau dieselbe, ist aber vertikal ausgerichtet. Fig. 4 Eines des Paares von 1-D-Faltungskernen, die verwendet werden, um den in Fig. 3 gezeigten Vollkern schneller zu berechnen. Ein weiterer Weg, eine Gaußsche Glättung mit einer großen Standardabweichung zu berechnen, besteht darin, ein Bild mehrmals mit einem kleineren Gaußschen zu falten. Während dies rechenkomplex ist, kann es Anwendbarkeit haben, wenn die Verarbeitung unter Verwendung einer Hardware-Pipeline durchgeführt wird. Der Gaußfilter hat nicht nur einen Nutzen für technische Anwendungen. Sie erregt auch Aufmerksamkeit von Computerbiologen, weil sie mit einer gewissen biologischen Plausibilität, z. B. Haben einige Zellen in den Sehwegen des Gehirns oft eine annähernd Gaußsche Antwort. Gebrauchsanweisung Die Wirkung der Gaußschen Glättung besteht darin, ein Bild, ähnlich dem mittleren Filter, zu verwischen. Der Glättungsgrad wird durch die Standardabweichung des Gaußschen bestimmt. (Größere Standardabweichung Gaussianer benötigen natürlich grßere Faltungskörner, um genau dargestellt zu werden.) Der Gaussian gibt einen gewichteten Durchschnitt jeder Pixelnachbarschaft aus, wobei der Durchschnitt stärker zum Wert der zentralen Pixel hin gewichtet wird. Dies steht im Gegensatz zu den mittleren Filtern gleichmäßig gewichtetem Durchschnitt. Aus diesem Grund bietet ein Gaussianer eine sanftere Glättung und bewahrt Kanten besser als ein ähnlich bemessener mittlerer Filter. Eine der prinzipiellen Begründungen für die Verwendung des Gaußschen als Glättungsfilter ist auf seinen Frequenzgang zurückzuführen. Die meisten Faltungsbasierten Glättungsfilter wirken als Tiefpaßfilter. Das bedeutet, dass ihre Wirkung darin besteht, Komponenten hoher räumlicher Frequenz aus einem Bild zu entfernen. Der Frequenzgang eines Faltungsfilters, d. H. Seine Auswirkung auf verschiedene Ortsfrequenzen, kann gesehen werden, indem die Fourier-Transformation des Filters genommen wird. Fig. 5 zeigt die Frequenzantworten eines 1-D-Mittelfilters mit der Breite 5 und auch eines Gaußfilters mit 3. Fig. 5 Frequenzantworten des Boxfilters (d. Mittelwertfilter) (Breite 5 Pixel) und des Gaußfilters (3 Pixel). Die Ortsfrequenzachse wird in Zyklen pro Pixel markiert, und daher hat kein Wert über 0,5 eine reale Bedeutung. Beide Filter dämpfen hohe Frequenzen mehr als tiefe Frequenzen, aber das mittlere Filter weist Oszillationen in seinem Frequenzgang auf. Der Gaussian hingegen zeigt keine Schwingungen. Tatsächlich ist die Form der Frequenzantwortkurve selbst (halb) Gaußscher. Wenn wir also einen entsprechend großen Gaußschen Filter auswählen, können wir ziemlich sicher sein, welchen Bereich der räumlichen Frequenzen im Bild nach der Filterung noch vorhanden sind, was bei dem mittleren Filter nicht der Fall ist. Dies hat Konsequenzen für einige Kantendetektionstechniken, wie im Abschnitt über Nulldurchgänge erwähnt. (Der Gaußsche Filter entpuppt sich ebenfalls sehr ähnlich dem optimalen Glättungsfilter für die Kantenerfassung unter den Kriterien, die verwendet werden, um den Canny-Randdetektor abzuleiten.), Um den Effekt der Glättung mit aufeinanderfolgend größeren und größeren Gaußschen Filtern zu veranschaulichen. Zeigt den Effekt der Filterung mit einem Gaussian von 1,0 (und Kerngröße 52155). Zeigt den Effekt der Filterung mit einem Gaußschen von 2,0 (und Kerngröße 92159). Zeigt den Effekt der Filterung mit einem Gaussian von 4,0 (und Kerngröße 1521515). Wir erwägen nun die Verwendung des Gaußschen Filters zur Geräuschreduzierung. Betrachten wir beispielsweise das Bild, das durch Gauss'sche Rauschen mit einem Mittelwert von Null und 8 verdorben wurde. Glättung dieses mit einer 52155 Gauss'schen Ausbeute (Vergleiche dieses Ergebnis mit dem, was durch die Mittel - und Medianfilter erreicht wird). Salz - und Pfeffergeräusche sind schwieriger Für einen Gaußfilter. Hier glätten wir das Bild, das durch 1 Salz - und Pfefferrauschen verdorben wurde (d. h. einzelne Bits wurden mit Wahrscheinlichkeit 1 umgedreht). Das Bild zeigt das Ergebnis der Gaußschen Glättung (mit derselben Faltung wie oben). Vergleichen Sie dies mit dem ursprünglichen Hinweis, dass ein Großteil des Rauschens noch existiert und dass es, obwohl es in der Größenordnung etwas abgenommen hat, es über eine größere räumliche Region geschmiert worden ist. Das Erhöhen der Standardabweichung verringert / verschleiert die Intensität des Rauschens weiter, dämpft aber auch hochfrequente Details (z. B. Kanten) erheblich, wie in Interactive Experimentation gezeigt. Sie können interaktiv mit diesem Operator experimentieren, indem Sie hier klicken. Übungen Ausgehend von dem Gaußschen Rauschen (Mittelwert 0, 13) berechnen korrigierte Bilder sowohl mittlere Filter - als auch Gaußsche Filterglättung bei verschiedenen Skalen und vergleichen sie jeweils in Bezug auf Rauschentfernung und Detailverlust. Bei wievielen Standardabweichungen vom Mittelwert sinkt ein Gaußscher Wert auf 5 seines Spitzenwertes. Auf dieser Basis wird eine geeignete Quadratkorngröße für einen Gaußschen Filter mit s vorgeschlagen. Schätzen Sie den Frequenzgang eines Gaußschen Filters durch Gaußsche Glättung eines Bildes und seine Fourier-Transformation sowohl vor als auch nachher ab. Vergleichen Sie dies mit dem Frequenzgang eines mittleren Filters. Wie verhält es sich mit der Zeit zum Glätten mit einem Gaußschen Filter, um mit einem mittleren Filter für einen Kernel gleicher Größe zu glätten? Beachten Sie, dass in beiden Fällen die Faltung erheblich beschleunigt werden kann, indem bestimmte Funktionen des Kernels genutzt werden. Referenzen E. Davies Machine Vision: Theorie, Algorithmen und Praktiken. Academic Press, 1990, S. 42 - 44. R. Gonzalez und R. Woods Digitale Bildverarbeitung. Addison-Wesley Publishing Company, 1992, S. 191. R. Haralick und L. Shapiro Computer and Robot Vision. Addison-Wesley Publishing Company, 1992, Bd. 1, Kap. 7. B. Horn-Roboter-Sicht. MIT Press, 1986, Kap. 8. D. Vernon Machine Vision. Prentice-Hall, 1991, S. 59 - 61, 214. Lokale Informationen Spezielle Informationen zu diesem Operator finden Sie hier. Weitere allgemeine Hinweise zur lokalen HIPR-Installation finden Sie im Einleitungsbereich Lokale Informationen.